3  Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối

3.1 Biến ngẫu nhiên

Biến ngẫu nhiên (random variable) là các biến nhận 1 giá trị ngẫu nhiên đại diện cho kết quả của phép thử. Mỗi giá trị nhận được \(x\in\mathcal{D}\) của biến ngẫu nhiên \(X\) được gọi là một thể hiện của \(X\), đây cũng là kết quả của phép thử hay còn được hiểu là một sự kiện. Trong xác suất, thường tập giá trị \(\mathcal{D}\) được giới hạn là tập các giá trị số, ví dụ \(\mathbb{R}\).

Biến ngẫu nhiên có 2 dạng (dựa trên tập giá \(\mathcal{D}\))

  • Rời rạc (discrete): tập giá trị nó là rời rạc; ví dụ, như mặt chấm của con xúc xắc.

  • Liên tục (continous): tập giá trị là liên tục; ví dụ, giá thuê nhà ở TPHCM.

Biến ngẫu nhiên (giá trị thực) là một hàm từ không gian xác suất vào không gian số thực \[\begin{array}{ccccc} X & : & \text{không gian xác suất} & \longrightarrow & \mathbb{R}\end{array}\]

Lưu ý:

  • Nếu \(X\) là một biến ngẫu nhiên (giá trị thực) và \(g\) là một hàm từ \(\mathbb{R}\) vào \(\mathbb{R}\) thì \(g(X)\) cũng là một biến ngẫu nhiên (giá trị thực).

  • Nếu \(X,Y\) là những biến ngẫu nhiên (giá trị thực) \(X+Y,X-Y,XY,X/Y\) cũng là những biến ngẫu nhiên (giá trị thực).

3.2 Phân phối xác suất

3.2.1 Hàm khối xác suất của biến rời rạc

Hàm xác suất như vậy đối với biến ngẫu nhiên rời rạc được gọi là hàm khối xác suất (PMF - Probability Mass Function). Giả sử miền xác định của \(X\) là \(\mathcal{D}\), thì hàm khối xác suất được xác định như sau \[p(x)=p_{X}(x)=\begin{cases} P(X=x) & \text{if }x\in\mathcal{D}\\ 0 & \text{if }x\notin\mathcal{D} \end{cases}\]

  • Như vậy ta có thể thấy rằng hàm khối xác suất thực chất cũng là một xác suất nên nó mang đầy đủ tất cả các tính chất của xác suất như

    1. \(0\le p(x)\le1\)

    2. \({\displaystyle \sum_{x_{i}\in\mathcal{D}}p(x_{i})=1}\)

Xét hàm phân phối khối xác suất của biến rời rạc \[p(x)=\begin{cases} \frac{x}{36} & \text{nếu }x\in\mathbb{N},0\le x\le6\\ \frac{12-x}{36} & \text{nếu }x\in\mathbb{N},7\leq x\leq12\\ 0 & \text{còn lại} \end{cases}\]

thì ta có thể biểu diễn bằng biểu đồ phân phối như sau

 

3.2.2 Hàm phân phối xác suất biến liên tục

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên \(X\) được xác định như sau \[F_{X}(x)=P(X\le x)\quad,x\in\mathbb{R}\]

  • Hàm phân phối xác suất còn có tên là hàm phân phối tích lũy (CDF - Cumulative Distribution Function) do đặc trưng là lấy xác suất của biến ngẫu nhiên bên trái của một giá trị \(x\) bất kì nào đó.

  • Hàm này có đặc điểm là một hàm không giảm, tức là nếu \(a<b\) thì \(F_{X}(a)\le F_{X}(b)\) vì sự kiện \(X\leq b\) đã bao gồm cả sự kiện \(X\leq a\).

 

Hàm phân phối tích lũy \(F\) của biến ngẫu nhiên rời rạc có thể được biểu diễn qua hàm khối xác suất bằng cách lấy tổng

\[F_{X}(x)=\sum_{x_{i}\le x}p(x_{i}),\quad x\in\mathbb{R}\]

Lúc này, hàm phân phối tích lũy sẽ có dạng bậc thang ứng với mỗi bậc là khoảng \((x_{i},x_{i+1})\). Hàm phân phối tích lũy của ví dụ trước sẽ có dạng như sau

\[F(x)=\begin{cases} 0 & \text{nếu }x<1\\ 1/36 & \text{nếu }1\le x<2\\ 3/36 & \text{nếu }2\le x<3\\ 6/36 & \text{nếu }3\le x<4\\ 10/36 & \text{nếu }4\le x<5\\ 15/36 & \text{nếu }5\le x<6\\ 21/36 & \text{nếu }6\le x<7\\ ... & ... \end{cases}\]

và biểu đồ tương ứng là

 

3.2.3 Hàm mật độ xác suất của biến liên tục

Với các biến ngẫu nhiên liên tục ta có khái niệm hàm mật độ xác suất (PDF - Probability Density Function) để ước lượng độ tập trung xác suất tại lân cận điểm nào đó.

Hàm mật độ xác suất \(f(x)\) tại điểm \(x\) được xác định bằng cách lấy đạo hàm của hàm phân phối tích lũy \(F(x)\) tại điểm đó \[f(x)=F^{\prime}(x)\]

  • Như vậy thì nơi nào \(f(x)\) càng lớn thì ở đó mức độ tập xác suất càng cao. Từ đây ta cũng có thể biểu diễn hàm phân phối tích lũy như sau \[F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt\]

  • Xác suất trong 1 khoảng \((\alpha,\beta)\) cũng có thể được tính bằng hàm mật độ xác suất \[P(\alpha\le X\le\beta)=\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx\]

  • Hàm mật độ xác suất cũng có 2 tính chất như xác suất như sau

    1. Không âm: \(f(x)\ge0,\quad\forall x\in\mathbb{R}\)

    2. Tổng toàn miền bằng 1: \(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1\)

Thời gian tính bằng đơn vị giờ mà một máy tính hoạt động trước khi xảy ra lỗi được coi như một biến ngẫu nhiên liên tục và được xác định với hàm mật độ xác suất sau \[f(x)=\begin{cases} \lambda e^{-x/100} & \text{if }x\ge0\\ 0 & \text{else} \end{cases}\] Hãy tính xác suất của

  1. Một máy tính hoạt động từ 50 giờ tới 150 giờ trước khi xảy ra lỗi?

  2. Một máy tính hoạt động dưới 100 giờ trước khi xảy ra lỗi?

Proof. Lời giải. Vì tổng xác suất toàn miền là 1 nên \[\begin{aligned} & \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1\\ \iff & \int_{-\infty}^{\infty}\lambda e^{-x/100}dx=1\\ \iff & \lambda\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x/100}dx=1\\ \iff & \lambda\int_{0}^{\infty}e^{-x/100}dx=1\\ \iff & -\lambda(100)e^{-x/100}\Big|_{0}^{\infty}=1\\ \iff & 100\lambda=1\\ \iff & \lambda=\frac{1}{100} \end{aligned}\]

  1. Xác suất để 1 máy tính hoạt động được trong khoảng (50, 150) giờ là \[\begin{aligned}P(50<X<150) & =\int_{50}^{150}\frac{1}{100}e^{-x/100}dx\\ & =-e^{-x/100}\Big|_{50}^{150}\\ & =e^{-1/2}-e^{-3/2}\\ & \approx0.384 \end{aligned}\]

     

    Như vậy, xấp xỉ 38.4 phần trăm thời gian một máy tính sẽ hoạt động trước khi lỗi trong khoảng 50 tới 150 giờ.

  2. Xác suất để 1 máy tính hoạt động được trong vòng 100 trước khi lỗi là \[\begin{aligned}P(X<100) & =\int_{0}^{100}\frac{1}{100}e^{-x/100}dx\\ & =-e^{-x/100}\Big|_{0}^{100}\\ & =1-e^{-1}\\ & \approx0.633 \end{aligned}\]

     

    Nên xấp xỉ 63.3 phần trăm thời gian một máy tính sẽ lỗi sau 100 giờ sử dụng.

Nhìn vào các biểu đồ trên ta có thấy xác suất (1) là phần diện tích của hình thang cong phủ từ \(50<x<150\), còn xác suất (2) là phần diện tích hình thang cong phủ tới \(x<100\). \(x\) càng lớn thì \(f(x)\) cũng càng bé đi nên phần phần diện tích của nó càng hẹp dần đồng nghĩa với mật độ xác suất cũng giảm dần nên xác suất để máy tính hoạt động được ngày càng thấp đi. ◻

  • Lưu ý rằng khác với hàm xác suất, hàm mật độ xác suất tại 1 điểm bất kì luôn bằng 0 \[P(X=x)=\int_{x}^{x}f(t)dt=0\]

  • Ngoài ra, giá trị của hàm mật độ xác suất \(f(x)\) có thể lớn hơn 1, miễn sao đảm bảo được rằng tổng xác suất toàn miền là 1 \[\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1\]

3.3 Các đặc trưng

3.3.1 Đồ thị hàm phân bố xác suất

Đồ thị hàm phân bố xác suất là đặc trưng quan trọng nhất.

Các dạng đồ thị

  1. Đều hay có đỉnh (một đỉnh, hai đỉnh hay nhiều đỉnh)

     

  2. Đối xứng hay lệch (lệch trái hay lệch phải)

     

Trong thực tế ta quan tâm tới các đại lượng đặc trưng của phân bố xác suất như vị trí trung bình và độ phân tán ra sao.

3.3.2 Kỳ vọng

Kỳ vọng (expectation) của biến ngẫu nhiên là trung bình của biến ngẫu nhiên. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên \(X\) được kí hiệu là \(\mathbb{E}[X]\) \[\mathbb{E}[X]=\begin{cases} {\displaystyle \sum_{x_{i}}x_{i}p(x_{i})} & \text{nếu $x$ rời rạc}\\ {\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx} & \text{nếu $x$ liên tục} \end{cases}\]

Kỳ vọng còn được biết tới với những tên gọi khác như giá trị trung bình (mean), giá trị trung bình có trọng lượng (weighted average),giá mong đợi (expected value) hay moment bậc một (first moment).

  • Kỳ vọng có một số tính chất như sau

    1. \(\mathbb{E}(c)=c\) với \(c\) là hằng số

    2. \(\mathbb{E}(cX)=c\mathbb{E}(X)\) với \(c\) là hằng số

    3. \(\mathbb{E}[aX+b]=a\mathbb{E}[X]+b\) với \(a,b\) là các hằng số

    4. \(\mathbb{E}[X+Y]=\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y]\)

    5. \(\mathbb{E}[XY]=\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]\) với \(X,Y\) là độc lập

Kỳ vọng của một hàm biến ngẫu nhiên \(g(X)\) là \[\mathbb{E}[g(X)]=\begin{cases} {\displaystyle \sum_{x_{i}}g(x_{i})p_{X}(x_{i})} & \text{nếu $x$ rời rạc}\\ {\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)dx} & \text{nếu $x$ liên tục} \end{cases}\]

3.3.3 Phương sai

Dựa vào kì vọng ta sẽ có được trung bình của biến ngẫu nhiên, tuy nhiên nó lại không cho ta thông tin về mức độ phân tán xác suất nên ta cần 1 phương pháp để đo được độ phân tán đó. Một trong những phương pháp đó là phương sai (variance).

Phương sai (variance) là trung bình của bình phương khoảng cách từ biến ngẫu nhiên tới giá trị trung bình. Phương sai của biến ngẫu nhiên \(X\) được kí hiệu là \(\text{Var}(X)\) \[\text{Var}(X)=\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X])^{2}]\]

  • Việc tính toán dựa vào công thức này khá phức tạp, nên trong thực tế người ta thường sử dụng công thức tương đương sau \[\text{Var}(X)=\mathbb{E}[X^{2}]-\mathbb{E}^{2}[X]\]

Proof. Proof. Ta có, \[\begin{aligned}\text{Var}(X) & =\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X])^{2}]\\ & =\mathbb{E}[X^{2}-2X\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}^{2}[X]]\\ & =\mathbb{E}[X^{2}]-\mathbb{E}[2X\mathbb{E}[X]]+\mathbb{E}[\mathbb{E}^{2}[X]],\mathbb{E}[X]\text{ là hằng số}\\ & =\mathbb{E}[X^{2}]-2\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}^{2}[X]\\ & =\mathbb{E}[X^{2}]-\mathbb{E}^{2}[X] \end{aligned}\] ◻

Như vậy ta có thể thấy rằng phương sai luôn là một giá trị không âm và phương sai càng lớn thì nó thể hiện mức độ phân tán dữ liệu càng rộng hay nói cách khác mức độ ổn định càng nhỏ.

  • Phương sai có một số tính chất sau

    1. \(\text{Var}(c)=0\) với \(c\) là hằng số

    2. \(\text{Var}(cX)=c^{2}\text{Var}(X)\) với \(c\) là hằng số

    3. \(\text{Var}(aX+b)=a^{2}\text{Var}(X)\) với \(a,b\) là các hằng số

    4. \(\text{Var}(X+Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)\) với \(X,Y\) là độc lập

3.3.4 Độ lệch chuẩn

Vì đơn vị của phương sai là bình phương nên việc tính để khớp với đơn vị của biến ngẫu nhiên nên người ta đưa vào thêm khái niệm độ lệch chuẩn (standard deviation) bằng căn bậc 2 của phương sai. Độ lệch chuẩn ký hiệu là \(\sigma(X)\). \[\sigma(X)=\sqrt{\text{Var}(X)}\]

  • Ta cũng có thể sử dụng \(\sigma^{2}(X)\) để thể hiện phương sai của biến ngẫu nhiên \(X\).

  • Lưu ý với độ lệch chuẩn ta phải lấy trị tuyệt đối của hằng số khi nhân vì độ lệch chuẩn cũng là không âm \[\sigma(cX)=|c|\sigma(X)\]

3.3.5 Trung vị

Trung vị (median) là điểm chia đều xác suất thành 2 phần giống nhau, kí hiệu là \(\text{med}(X)\) \[P(X<\text{med}(X))=P(X\ge\text{med}(X))=0.5\]

  • Như vậy trung vị là nghiệm của phương trình hàm tích lũy xác suất \[F_{X}(x)=0.5\]

3.3.6 Yếu vị

Yếu vị (mode) là điểm có giá trị cực đại trong phân phối, ký hiệu là \(\text{mod}(X)\). Lưu ý, Khác với trung bình và trung vị, phân bố xác suất có thể có rất nhiều điểm cực đại hoặc là không có điểm cực đại nào.

 

3.3.7 Moment

Moment là khái niệm tổng quát của kì vọng và phương sai.

Một moment bậc \(k\) đối với \(a\) được định nghĩa như sau \[m_{k}=\mathbb{E}[(X-a)^{k}]\]

  • Kỳ vọng là moment bậc 1 với \(a=0\)

  • Phương sai là moment bậc 2 với \(a=\mathbb{E}[X]\)

  • Khi \(a=\mathbb{E}[X]\) người ta thường gọi là moment quy tâm, còn \(a=0\) gọi là moment gốc. Vậy nên ta có thể gọi kỳ vọng là moment gốc bậc 1 và phương sai là moment quy tâm bậc 2.

3.3.8 Entropy

Để đo sự hỗn loạn của hàm phân bố xác suất \(p(x)\), người ta sử dụng độ đo entropy \(H(X)\) \[H(X)=\begin{cases} {\displaystyle -\sum_{x_{i}}p(x_{i})\log_{2}p(x_{i})} & \text{nếu $x$ rời rạc}\\ {\displaystyle -\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\log_{2}f(x)dx} & \text{nếu $x$ liên tục} \end{cases}\]

3.3.9 Cross entropy và KL divergence

Cross entropy và KL divergence dùng để đo sự khác biệt giữa hai phân bố xác suất \(p(x)\) và \(q(x)\)

  • Cross entropy \[H(p,q)=-\sum_{x}p(x)\log_{2}q(x)\]

  • KL divergence \[KL(p,q)=\sum_{x}p(x)\log_{2}\frac{p(x)}{q(x)}\]

3.4 Biến ngẫu nhiên nhiều chiều

Trong thực tế ta thường xuyên phải làm việc với nhiều biến ngẫu nhiên cùng lúc nên khảo sát việc kết hợp các biến như vậy là rất cần thiết. Lưu ý rằng ta cũng có thể coi các biến ngẫu nhiên này như 1 biến đa chiều hoặc 1 vector ngẫu nhiên có các phần tử là biến ngẫu nhiên. Sau này trong các bài toán chúng thường hay được biểu diễn dưới dạng vector nên ta cần nhớ tới điểm này.

3.4.1 Phân phối xác suất

Phân phối đồng thời

Hàm phân phối xác suất đồng thời (kết hợp) hay hàm phân phối tích lũy xác suất đồng thời (Joint CDF - Joint Cumulative Probability Distribution Function) của 2 biến ngẫu nhiên \(X,Y\) được định nghĩa như sau \[F_{X,Y}(x,y)=P(X\le x,Y\le y)\quad x,y\in\mathbb{R}\]

Như vậy đây thực chất là hàm hợp xác suất của 2 biến ngẫu nhiên \(X,Y\) và tích lũy xác suất được lấy là phần giao tích lũy bên trái của \(X\) và bên trái của \(Y\). Tương tự như với 1 biến ngẫu nhiên, hàm phân phối của 2 biến cũng là một hàm không giảm theo từng đối số 1 và ta còn có thể tính được tất cả các kiểu xác suất hợp của 2 biến \(X,Y\) thông qua hàm xác suất đồng thời.

  • Ví dụ \[\begin{aligned}P(X>x,Y>y) & =1-P(X>x,Y>y)\\ & =1-P(X>x\cup Y>y)\\ & =1-P(X\le x\cup Y\le y)\\ & =1-P(X\le x)-P(Y\le y)+P(X\le x,Y\le y)\\ & =1-F_{X}(x)-F_{Y}(y)+F_{X,Y}(x,y)\\ P(x_{1}<X\le x_{2},y_{1}<Y\le y_{2}) & =F(x_{1},y_{1})+F(x_{2},y_{2})-F(x_{1},y_{2})-F(x_{2},y_{1}) \end{aligned}\]

Hàm khối xác suất đồng thời (Joint PMF) của 2 biến ngẫu nhiên \(X,Y\) rời rạc sẽ có dạng \[p_{X,Y}(x,y)=P(X=x,Y=y)\]

  • Với mỗi \(p(x_{i},y_{j})\) là hàm khối xác suất đồng thời, ta có:

    1. \(0\le p(x_{i},y_{j})\le1\)

    2. \({\displaystyle \sum_{x_{i}}\sum_{x_{j}}p(x_{i},y_{j})=1}\)

    3. \(F(x,y)={\displaystyle \sum_{x_{i}\le x}\sum_{y_{j}\le y}p(x_{i},y_{j})}\)

Hàm mật độ xác suất đồng thời (Joint PDF) của 2 biến ngẫu nhiên \(X,Y\) cùng liên tục có dạng: \[f(x,y)=\dfrac{\partial^{2}}{\partial x\partial y}F_{(X,Y)}(x,y)\] \[F(x,y)=\int_{-\infty}^{y}\int_{-\infty}^{x}f(u,v)dudv\]

 

  • Tương tự như trường hợp 1 biến ta có:

    1. \(f(x,y)>0\)

    2. \({\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dxdy=1}\)

    3. \(P(x_{1}\le X\le x_{2},y_{1}\le Y\le y_{2})={\displaystyle \int_{y_{1}}^{y_{2}}\int_{x_{1}}^{x_{2}}f(x,y)dxdy}\)

    4. \(P(X=x,Y=y)={\displaystyle \int_{y}^{y}\int_{x}^{x}f(x,y)dxdy=0}\)

Như vậy nếu để ý thì ta có thể nhớ 1 cách rằng trường hợp biến rời rạc ta lấy tổng còn biến là liên tục ta lấy tích phân. Đương nhiên là với biến rời rạc ta phải sử dụng hàm khối xác suất còn biến liên tục là hàm mật độ xác suất.

Phân phối biên

Phân phối biên (Marginal Probability) là phân phối của riêng từng biến một. \[\begin{aligned}F_{X}(x) & =P(X\le x)\\ & =P(X\le x,Y<+\infty)\\ & =F_{X,Y}(x,+\infty)\\ F_{Y}(y) & =P(Y\le y)\\ & =P(+\infty,Y\le y)\\ & =F_{X,Y}(+\infty,y) \end{aligned}\]

Đối với các biến rời rạc, ta có hàm khối xác suất biên (Marginal PMF) \[\begin{aligned}p_{X}(x) & =P(X=x)\\ & =\sum_{y_{j}}p(x,y_{j})\\ p_{Y}(y) & =P(Y=y)\\ & =\sum_{x_{i}}p(x_{i},y) \end{aligned}\]

Đối với các biến liên tục, ta có hàm mật độ xác suất biên (Marginal PDF): \[\begin{aligned}f_{X}(x) & =P(X=x)\\ & =\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy\\ & =\dfrac{\partial}{\partial x}F_{X}(x)\\ f_{Y}(y) & =P(Y=y)\\ & =\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dx\\ & =\dfrac{\partial}{\partial y}F_{Y}(y) \end{aligned}\]

 

Biến độc lập

2 biến \(X,Y\) độc lập khi xác suất của chúng không phụ thuộc vào nhau. Như ta đã biết 2 sự kiện \(A,B\) độc lập khi và chỉ khi \(P(AB)=P(A)P(B)\), tương tự với biến ngẫu nhiên chúng độc lập khi và chỉ khi \[F_{X,Y}(x,y)=F_{X}(x)F_{Y}(y)\quad,\forall x,y\in\mathbb{R}\]

  • Với trường hợp các biến ngẫu nhiên rời rạc \[p_{X,Y}(x,y)=p_{X}(x)p_{Y}(y)\quad,\forall x,y\in D\]

  • Với trường hợp các biến ngẫu nhiên liên tục \[f_{X,Y}(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y)\quad,\forall x,y\in\mathbb{R}\]

Như vậy từ đây ta có thể thấy rằng nếu các biến ngẫu nhiên là độc lập thì xác suất đồng thời của chúng có thể tính qua các xác suất biên của chúng bằng cách lấy tích chúng lại với nhau.

Phân phối có điều kiện

Tương tự như xác suất có điều kiện của các sự kiện ta cũng có thể biểu diễn các phân phối có điều kiện của các biến ngẫu nhiên.

  • Với \(X,Y\) là rời rạc: \[\begin{aligned}p_{X\mid Y}(x\mid y) & =P(X=x\mid Y=y)\\ & =\dfrac{P(X=x,Y=y)}{P(Y=y)}\\ & =\dfrac{p_{X,Y}(x,y)}{p_{Y}(y)}\\ & =\dfrac{p_{X,Y}(x,y)}{\sum_{x_{i}}p(x_{i},y)} \end{aligned}\]

  • Tương tự với \(X,Y\) là liên tục, ta có: \[\begin{aligned}f_{X\mid Y}(x\mid y) & =\dfrac{f_{X,Y}(x,y)}{f_{Y}(y)}\\ & =\dfrac{f_{X,Y}(x,y)}{\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy} \end{aligned}\]

Qua các phép biến đổi trên ta thấy rằng hợp phân phối của các biến ngẫu nhiên có thể tính toán tương tự như các phép kết hợp của các sự kiện mà ta đã làm quen ở bài đầu tiên. Tôi sẽ không trình bày thêm các phép toán như nhân xác suất, công thức xác suất hậu nghiệm ở đây nữa vì chúng được áp dụng tương tự như các phép toán trên. Cụ thể hơn bạn xem lại bài đầu tiên nhé.

3.4.2 Các đặc trưng

Hiệp phương sai

Hiệp phương sai (covariance) của 2 biến ngẫu nhiên \(X,Y\) kí hiệu là \(\text{Cov}(X,Y)\) được định nghĩa rằng: \[\text{Cov}(X,Y)=\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X])(Y-\mathbb{E}[Y])]\] \[\text{Cov}(X,Y)=\mathbb{E}[XY]-\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]\]

Nếu \(X,Y\) là độc lập thì \(\mathbb{E}[XY]=\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]\) nên lúc này ta có \(\text{Cov}(X,Y)=0\), nhưng điều ngược lại chưa chắc đã đúng!

  1. \(\text{Cov}(X,Y)=\text{Cov}(Y,X)\)

  2. \(\text{Cov}(X,X)=\text{Var}(X)\)

  3. \(\text{Cov}(aX,bY)=ab\text{Cov}(X,Y)\) với \(a,b\) là hằng số

  4. \({\displaystyle \text{Cov}\bigg(\sum_{i=1}^{n}X_{i},\sum_{j=1}^{m}Y_{j}\bigg)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\text{Cov}(X_{i},Y_{j})}\)

  5. \({\displaystyle \text{Var}\bigg(\sum_{i=1}^{n}X_{i}\bigg)=\sum_{i=1}^{n}\text{Var}(X_{i})+2\sum_{i}\sum_{j>i}\text{Cov}(X_{i},X_{j})}\)

Các giá trị hiệp phương sai thường được tập hợp lại thành ma trận hiệp phương sai \[\begin{bmatrix}\text{Cov}(X,X) & \text{Cov}(X,Y)\\ \text{Cov}(Y,X) & \text{Cov}(Y,Y) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\text{Var}(X) & \text{Cov}(X,Y)\\ \text{Cov}(X,Y) & \text{Var}(Y) \end{bmatrix}\]

  1. Ma trận hiệp phương sai là ma trận đối xứng.

  2. Ma trận hiệp phương sai là ma trận của dạng toàn phương không âm.

Hệ số tương quan

Hiệp phương sai có hạn chế cơ bản là khó xác định được miền biến thiên, nó thay đổi từ cặp biến thiên này sang cặp biến thiên khác. Chưa kể về mặt vật lý nó có đơn vị đo bằng bình phương đơn vị đo của biến ngẫu nhiên \(X,Y\) (nếu chúng cùng đơn vị đo). Vì thế cần đưa ra một số đặc trưng khác để khắc phục hạn chế này, đó là hệ số tương quan (Correlation) được kí hiệu là \(\rho(X,Y)\) và định nghĩa như sau \[\begin{aligned}\rho(X,Y) & =\dfrac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)\text{Var}(Y)}}\\ & =\dfrac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)} \end{aligned}\]

  1. \(-1\le\rho(X,Y)\le1\).

  2. Nếu \(|\rho(X,Y)|=1\) thì giữa \(X,Y\) có quan hệ tuyến tính tức là: \(Y=a+bX\).

  3. Nếu \(\rho(X,Y)=0\) thì chúng không tương quan với nhau.

Hệ số tương quan cho ta thấy được các biến ngẫu nhiên có quan hệ tuyến tính chặt tới đâu tức là khi 1 biến biến thiên thì biến còn lại cũng sẽ biến thiên tương ứng. \(|\rho(X,Y)|\) càng lớn thì ta nói rằng 2 biến có quan hệ tuyến tính càng chặt chẽ. \(\rho(X,Y)>0\) ám chỉ rằng 2 biến là thuận biến với nhau, còn \(\rho(X,Y)<0\) ám chỉ rằng 2 biến là nghịch biến với nhau. Lưu ý rằng khi 2 biến độc lập thì chúng không tương quan nhưng điều ngược lại thì không đúng.

3.4.3 Đặc trưng có điều kiện

Các hàm khối xác suất của biến rời rạc và hàm mật độ xác suất của biến liên tục có điều kiện cũng có các đặc trưng như kỳ vọng và phương sai tương tự như các hàm khác chỉ khác 1 điều là thêm điều kiện tương ứng.

Kỳ vọng có điều kiện (conditional expectation) được định nghĩa như sau \[\mathbb{E}[X\mid Y=y]=\begin{cases} {\displaystyle \sum_{x_{i}}x_{i}p_{X\mid Y}(x_{i}\mid y)} & \text{cho $X,Y$ rời rạc}\\ {\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}xf_{X\mid Y}(x\mid y)dx} & \text{cho $X,Y$ liên tục} \end{cases}\]

  1. \(\mathbb{E}[g(Y)X\mid Y]=g(Y)\mathbb{E}[X\mid Y]\) với \(g(Y)\) là 1 hàm liên tục

  2. \(\mathbb{E}[X_{1}+X_{2}\mid Y]=\mathbb{E}[X_{1}\mid Y]+\mathbb{E}[X_{2}\mid Y]\)

  3. \(\mathbb{E}[X\mid Y]=\mathbb{E}[X]\) nếu \(X,Y\) là độc lập

Một tính chất quan trọng nữa là \[\mathbb{E}[X]=\mathbb{E}_{Y}[\mathbb{E}[X\mid Y]],\] tức là kì vọng của 1 biến có thể lấy bằng cách tương tự như xác suất của nó. Ta có thể biểu diễn tương tự như vậy: \[\mathbb{E}[X]=\begin{cases} {\displaystyle \sum_{j}\mathbb{E}(X\mid Y=y_{j})p_{Y}(y_{j})} & \text{cho $X,Y$ rời rạc}\\ {\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\mathbb{E}(X\mid Y=y)f_{Y}(y)dy} & \text{cho $X,Y$ liên tục} \end{cases}\]

Phương sai có điều kiện (conditional variance) được định nghĩa như sau \[\text{Var}[X\mid Y=y]=\begin{cases} {\displaystyle \sum_{x_{i}}(x_{i}-\mathbb{E}[X\mid Y=y])^{2}p_{X\mid Y}(x_{i}\mid y)} & \text{cho $X,Y$ rời rạc}\\ {\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}(x-\mathbb{E}[X\mid Y=y])^{2}f_{X\mid Y}(x\mid y)dx} & \text{cho $X,Y$ liên tục} \end{cases}\]

  1. \(\text{Var}(X\mid Y)=\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X])^{2}\mid Y]\)

  2. \(\text{Var}(X\mid Y)=\mathbb{E}[X^{2}\mid Y]-\mathbb{E}^{2}[X\mid Y]\)

Tính chất phân rã một phương sai \[\text{Var}(X)=\mathbb{E}_{Y}[\text{Var}(X\mid Y)]+\text{Var}_{Y}(\mathbb{E}[X\mid Y]).\]

Proof. Proof. Do \(\text{Var}(X\mid Y)=\mathbb{E}[X^{2}\mid Y]-\mathbb{E}^{2}[X\mid Y]\), nên \[\begin{aligned}\mathbb{E}[\text{Var}(X\mid Y)] & =\mathbb{E}[\mathbb{E}[X^{2}\mid Y]]-\mathbb{E}[\mathbb{E}^{2}[X\mid Y]]\\ & =\mathbb{E}[X^{2}]-\mathbb{E}[\mathbb{E}^{2}[X\mid Y]] \end{aligned}\] Ngoài ra, \[\begin{aligned}\text{Var}(\mathbb{E}[X\mid Y]) & =\mathbb{E}[\mathbb{E}^{2}[X\mid Y]]-\mathbb{E}^{2}[\mathbb{E}[X\mid Y]]\\ & =\mathbb{E}[\mathbb{E}^{2}[X\mid Y]]-\mathbb{E}^{2}[X] \end{aligned}\] Vậy nên, \[\text{Var}(X)=\mathbb{E}[\text{Var}(X\mid Y)]+\text{Var}(\mathbb{E}[X\mid Y])\] ◻

Các đặc trưng có điều kiện là nền tảng để có tạo được mối quan hệ giữa các biến ngẫu nhiên tức là ta có thể vẽ một đường dự đoán giá trị của \(Y\) khi biết \(X\) bằng một hàm hồi quy của \(Y\) đối với \(X\): \(g(X)=\mathbb{E}[Y\mid X]\). Thực chất để ước lượng được \(Y\) ta cần tìm hàm hồi quy \(g(X)\) sao cho kỳ vọng khoảng cách của chúng là nhỏ nhất có thể \(\mathrm{argmin}\,\mathbb{E}[(Y-g(X))^{2}]\). Và giá trị nhỏ nhất này chính là \(g(X)=\mathbb{E}[Y\mid X]\).

3.5 Hàm và biến ngẫu nhiên

3.5.1 Hàm của biến ngẫu nhiên

Gọi \(X\) là một biến ngẫu nhiên, với hàm phân bố xác suất \(F_{X}(x)\) và \(g\) là hàm đơn điệu từ \(\mathbb{R}\) đến \(\mathbb{R}\). Xét biến ngẫu nhiên \(Y=g(X)\) có phân phối \(F_{Y}(y)\)

  1. Nếu \(g\) là hàm đồng biến thì \[F_{Y}(y)=F_{X}(g^{-1}(y))\]

  2. Nếu \(g\) là hàm nghịch biến thì \[F_{Y}(y)=1-F_{X}(g^{-1}(y))\]

  3. Nếu \(X\) là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất \(f_{X}(x)\) thì \[f_{Y}(y)=f_{X}(g^{-1}(y))\left|\frac{d}{dy}g^{-1}(y)\right|\]

Trong trường hợp \(g\) không phải là hàm đơn điệu, ta có thể phân rã không gian mẫu ra thành từng phân hoạch sao cho \(g\) đơn điệu trên từng phân hoạch.

3.5.2 Hàm lồi và biến ngẫu nhiên

Một hàm số \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) được gọi là một hàm lồi (convex function) nếu với mọi \(x,y\) và \(\lambda\in[0,1]\) ta có \[f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)\]

Một số hàm lồi đơn giản

 

Một hàm số \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) được gọi là một hàm lõm (concave function) nếu với mọi \(x,y\) và \(\lambda\in[0,1]\) ta có \[f(\lambda x+(1-\lambda)y)\geq\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)\]

Một số hàm lõm đơn giản

 

Cho \(X\) là biến ngẫu và \(f\) là một hàm lồi thì ta có \[f(\mathbb{E}[X])\geq\mathbb{E}[f(X)]\]

Proof. Proof. Dành cho các bạn ◻

3.6 Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm

3.6.1 Luật số lớn

Cho \(X\) là biến ngẫu nhiên không âm. Khi đó với \(\epsilon>0\) tùy ý cho trước ta có: \[P(X\geq\epsilon)\leq\frac{\mathbb{E}[X]}{\epsilon}\]

Proof. Proof. Từ định nghĩa kỳ vọng của \(X\) ta có \[\begin{aligned} \mathbb{E}[X] & =\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx\nonumber \\ & =\int_{0}^{\infty}xf(x)dx\nonumber \\ & \geq\int_{\epsilon}^{\infty}xf(x)dx\nonumber \\ & \geq\int_{\epsilon}^{\infty}\epsilon f(x)dx\nonumber \\ & =\epsilon\int_{\epsilon}^{\infty}f(x)dx\nonumber \\ & =\epsilon P(X\geq\epsilon) \end{aligned}\] Suy ra điều phải chứng minh ◻

Cho \(X\) là biến ngẫu nhiên có \(\mathbb{E}[X]=\mu,\text{Var}(X)=\sigma^{2}\) hữu hạn. Khi đó với \(\epsilon>0\) tùy ý cho trước ta có: \[P(|X-\mu|\geq\epsilon)\leq\frac{\sigma^{2}}{\epsilon^{2}}\] hay tương đương \[P(|X-\mu|<\epsilon)>1-\frac{\sigma^{2}}{\epsilon^{2}}\]

Proof. Proof. Xét biến ngẫu nhiên \((X-\mathbb{E}[X])^{2}\) không âm, theo bất đẳng thức Markov ta có \[P((X-\mathbb{E}[X])^{2}\geq\epsilon^{2})\leq\frac{\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X])^{2}]}{\epsilon^{2}}\] Suy ra ta có \[P(|X-\mathbb{E}[X]|\geq\epsilon)\leq\frac{\text{Var}(X)}{\epsilon^{2}}\] Vậy ta có điều phải chứng minh ◻

\(X\) là biến ngẫu nhiên bị chặn trong đoạn \([a,b]\) thì \[\forall\lambda\in\mathbb{R},\quad\mathbb{E}\left[\exp(\lambda X)\right]\leq\exp\left(\lambda\mu+\frac{\lambda^{2}(b-a)^{2}}{8}\right)\]

Proof. Proof. Dành cho các bạn ◻

Giả sử \(\{X_{i}\}\) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập bị chặn trong khoảng \([0,1]\) với \(i\in\{1,...,n\}\). Đặt \(\bar{X}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\). Khi đó với \(n\) đủ lớn ta có \[P(|\bar{X}-\mathbb{E}[\bar{X}]|\geq\epsilon)\leq2e^{-2\epsilon^{2}n}\]

Proof. Proof. Dành cho các bạn ◻

Giả sử \(\{X_{i}\}\) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối với \(\mathbb{E}[X_{i}]=\mu,\text{Var}(X_{i})=\sigma^{2}\) với mọi \(i\in\{1,...,n\}\). Đặt \(\bar{X}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\), khi đó ta có với \(\epsilon>0\) \[\lim_{n\to\infty}P(|\overline{X}-\mu|\geq\epsilon)=0\] Hay nói cách khác là biến ngẫu nhiên \(\overline{X}\) hội tụ theo xác suất về \(\mu\)

Proof. Proof. Dành cho các bạn ◻

3.6.2 Định lý giới hạn trung tâm

Giả sử \(\{X_{i}\}\) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối với \(\mathbb{E}[X_{i}]=\mu,\text{Var}(X_{i})=\sigma^{2}\) với mọi \(i\in\{1,...,n\}\). Đặt \(\bar{X}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\), khi đó với \(n\) đủ lớn ta có \[\bar{X}\sim\mathcal{N}\left(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n}\right)\]

Proof. Proof. Ta có với mọi \(i=1,...,n\), \(Y_{i}=\dfrac{X_{i}-\mu}{\sigma}\) có kỳ vọng \(\mathbb{E}(Y_{i})=0\) và phương sai \(\text{Var}(Y_{i})=1\), với hàm đặc trưng (moment generating function) số thực được khai triển dưới dạng \[M_{Y_{1}}(t)=\mathbb{E}[e^{tY_{1}}]=1+\frac{t^{2}}{2}+o(t^{2}),\quad(t\to0).\] Đặt \[Z_{n}=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}=\sum_{i=1}^{n}\frac{Y_{i}}{\sqrt{n}}.\] Từ các tính chất cơ bản của hàm đặc trưng, ta suy ra hàm đặc trưng của \(Z_{n}\) là \[\begin{aligned} M_{Z_{n}}(t) & =\mathbb{E}\left[e^{tZ_{n}}\right]\nonumber \\ & =\mathbb{E}\left[e^{t\frac{Y_{1}+Y_{2}+...+Y_{n}}{\sqrt{n}}}\right]\nonumber \\ & =\mathbb{E}\left[e^{t\frac{Y_{1}}{\sqrt{n}}}\right]\mathbb{E}\left[e^{t\frac{Y_{2}}{\sqrt{n}}}\right]...\mathbb{E}\left[e^{t\frac{Y_{n}}{\sqrt{n}}}\right]\nonumber \\ & =\mathbb{E}\left[e^{t\frac{Y_{1}}{\sqrt{n}}}\right]^{n}\nonumber \\ & =\left[M_{Y_{1}}\left(\frac{t}{\sqrt{n}}\right)\right]^{n}=\left[1+\frac{t^{2}}{2n}+o\left(\frac{t^{2}}{n}\right)\right]^{n}\to e^{\frac{t^{2}}{2}}\qquad\text{khi}\qquad n\to\infty. \end{aligned}\] Giới hạn này chính là hàm đặc trưng của phân phối chuẩn \(\mathcal{N}(0,1)\). Vậy ta có điều phải chứng minh ◻

3.7 ✏️ Bài tập

Cho biến ngẫu nhiên rời rạc \(X\) có bảng phân phối xác suất cho bởi bảng sau:

\(X\) -2 -1 0 1 2
\(P\) 1/8 2/8 2/8 2/8 1/8

  1. Tìm hàm phân phối xác suất \(F(x)\).

  2. Tính \(P(-1\leq X\leq1)\) và \(P(X\leq-1\text{ hoặc }X=2)\).

  3. Lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên \(Y=X^{2}\).

Biến ngẫu nhiên rời rạc \(X\) có hàm xác suất cho bởi

\[f(x)=\dfrac{2x+1}{25},x=0,1,2,3,4\]

  1. Lập bảng phân phối xác suất của \(X\).

  2. Tính \(P(2\leq X<4)\) và \(P(X>-10)\).

Gọi \(X\) là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất sau

\(X\) -1 0 3
\(P\) 0.5 0.2 0.3

  1. Tính độ lệch chuẩn của \(X\).

  2. Tính kì vọng của \(X^{3}\).

  3. Tìm hàm phân phối của \(X\).

  4. Ta định nghĩa \(Y=X^{2}+X+1\). Lập bảng phân phối xác suất của \(Y\).

Biến ngẫu nhiên \(X\) có hàm mật độ \(f(x)\) như sau \[f(x)=\begin{cases} kx(2-x) & \text{khi }1<x<2\\ 0 & \text{nơi khác} \end{cases}\]

  1. Xác định giá trị của \(k\) để \(f(x)\) là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên \(X\). Với \(k\) vừa tìm được tính kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên \(X\).

  2. Tìm hàm phân phối \(F(x)\) của biến ngẫu nhiên \(X\).

  3. Tìm hàm phân phối \(G(y)\) của biến ngẫu nhiên \(Y=X^{3}\).

Biến ngẫu nhiên liên tục \(X\) có hàm mật độ \[f(x)=\begin{cases} e^{-x} & \text{khi }x>0\\ 0 & \text{khi }x\leq0 \end{cases}\]

  1. Tính \(P(3\leq X)\).

  2. Tìm giá trị của \(a\) sao cho \(P(X\leq a)=0.1\).

  3. Xác định hàm phân phối và mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên \(Y=\sqrt{X}\).

Tính \(P(X\geq8)\) nếu

\[f_{X}(x)=\left\{ \begin{array}{cc} \dfrac{1}{96}x^{3}e^{-x/2} & \text{nếu }x\geq0\\ 0 & \text{nếu khác} \end{array}\right.\]

Cho

\[f_{X}(x)=\sqrt{\dfrac{2}{\pi}-x^{2}}\text{ với }-\sqrt{\dfrac{2}{\pi}}\leq x\leq\sqrt{\dfrac{2}{\pi}}\]

Tính \(P(X<0)\).

Biến ngẫu nhiên \(X\) có hàm mật độ \[f(x)=\begin{cases} a\exp\left(-\dfrac{x}{2}\right) & \text{khi }x\geq0\\ 0 & \text{nơi khác} \end{cases}\]

Xác định:

  1. Hằng số \(a\).

  2. Hàm phân phối xác suất \(F(x)\)

  3. Kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên \(X\).

  4. Kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên \(Y=(X/2)-1\).

Cho \(X\) là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ sau \[f(x)=\begin{cases} c(1-x^{2}) & \text{nếu }-1\leq x\leq1\\ 0 & \text{nếu }|x|\geq1 \end{cases}\]

với \(c\) là một hằng số dương. Tìm

  1. hằng số \(c\)

  2. trung bình của \(X\)

  3. phương sai của \(X\)

  4. hàm phân phối \(F_{X}(x)\).

Biến ngẫu nhiên liên tục \(X\) có hàm mật độ \[f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{2}x & \text{khi }0<x<2\\ 0 & \text{nơi khác} \end{cases}\]

Tìm hàm phân phối và hàm mật độ xác suất của các biến ngẫu nhiên sau:

  1. \(Y=X(2-X)\).

  2. \(Z=4-X^{3}\).

  3. \(T=3X+2\).

Tính phương sai của \(\sqrt{X}\) nếu \[p_{X}(x)=\begin{cases} 1/4 & \text{nếu }x=0\\ 1/2 & \text{nếu }x=1\\ 1/4 & \text{nếu }x=4 \end{cases}\]

Tính phân vị mức 25% (tức là giá trị \(x_{0.25}\) sao cho \(P(X<x_{0.25})=0.25\)) của biến ngẫu nhiên liên tục \(X\) có hàm mật độ sau: \[f_{X}(x)=\begin{cases} xe^{-x^{2}/2} & \text{nếu }x\geq0\\ 0 & \text{nếu }x<0 \end{cases}\]

Cho \[p_{X}(x)=\begin{cases} 0 & \text{nếu }x<0\\ x/2 & \text{nếu }0\leq x\leq1\\ x/6+1/3 & \text{nếu }1<x<4\\ 1 & \text{nếu }x\geq4 \end{cases}\]

là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên liên tục \(X\).

  1. Tính hàm mật độ của \(X\).

  2. Tìm phân vị mức 75% của \(X\) (tức là tìm \(x_{0.75}\) sao cho \(P(X<x_{0.75})=0.75\)).

  3. Tính kì vọng của \(X\).

  4. Tính \(\mathbb{E}(1/X)\).

  5. Ta định nghĩa \[Y=\begin{cases} -1 & \text{nếu }X\leq1\\ 1 & \text{nếu }X>1 \end{cases}\]

    1. Tìm \(F_{Y}(0)\).

    2. Tính phương sai của \(Y\).

Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất \[f(x)=\begin{cases} \dfrac{3}{4}x(2-x) & \text{khi }0\leq x\leq2\\ 0 & \text{nơi khác} \end{cases}\]

  1. Xác định hàm phân phối xác suất \(F(x)\) của biến ngẫu nhiên \(X\).

  2. Tính \(\mathbb{E}(X)\), \(\text{Var}(X)\) và trung vị của biến ngẫu nhiên \(X\).

  3. Đặt \(Y=\sqrt{X}\), xác định hàm phân phối và hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên \(Y\).

Tuổi thọ của một loại côn trùng nào đó là một biến ngẫu nhiên liên tục \(X\) ( đơn vị tháng) có hàm mật độ \[f(x)=\begin{cases} kx^{2}(4-x) & \text{khi }0\leq x\leq4\\ 0 & \text{nơi khác} \end{cases}\]

  1. Tìm hằng số \(k\).

  2. Tìm \(F(x)\).

  3. Tìm \(\mathbb{E}(X)\), \(\text{Var}(X)\) và \(\text{Mod}(X)\).

  4. Tính xác suất để côn trùng chết trước một tháng tuổi.

Biến ngẫu nhiên liên tục \(X\) có hàm mật độ \[f(x)=\begin{cases} kx^{2}e^{-2x} & \text{khi }x\geq0\\ 0 & \text{nơi khác} \end{cases}\]

  1. Tìm hằng số \(k\).

  2. Tìm hàm phân phối xác suất \(F(x)\).

  3. Tìm \(\mathbb{E}(X)\), \(\text{Var}(X)\) và \(\text{Mod}(X)\).

Có hai thùng thuốc \(A\) và \(B\), trong đó:

  • thùng \(A\) có 20 lọ gồm 2 lọ hỏng và 18 lọ tốt

  • thùng \(B\) có 20 lọ gồm 3 lọ hỏng và 17 lọ tốt.

  1. Lấy ở mỗi thùng 1 lọ. Gọi \(X\) là số lọ hỏng trong hai lọ lấy ra. Tìm hàm mật độ của \(X\).

  2. Lấy ở thùng B ra 3 lọ. Gọi \(Y\) là số lọ hỏng trong 3 lọ lấy ra. Tìm hàm mật độ của \(Y\).

Một thùng đựng 10 lọ thuốc trong đó có 1 lọ hỏng. Ta kiểm tra từng lọ (không hoàn lại) cho tới khi phát hiện được lọ hỏng thì dừng. Gọi \(X\) là số lần kiểm tra. Tìm hàm mật độ của \(X\). Tính kì vọng và phương sai.

Một biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất sau: \[f_{X}(x)=\begin{cases} cxe^{-x/2} & \text{nếu }x\geq0\\ 1 & \text{nếu }x<0 \end{cases}\]

  1. Tìm hằng số \(c\).

  2. Tìm hàm phân phối xác suất \(F_{X}(x)\).

  3. Tìm trung bình của \(X\)

  4. Tìm độ lệch chuẩn của \(X\).

  5. Tìm \(\text{Med}(X)\).

Gọi \(X\) là tuổi thọ của con người. Một công trình nghiên cứu cho biết hàm mật độ của \(X\) là \[f(x)=\begin{cases} cx^{2}(100-x)^{2} & \text{khi }0\leq x\leq100\\ 0 & \text{khi }x<0\text{ hay }x>100 \end{cases}\]

  1. Xác định hằng số \(c\).

  2. Tính kì vọng và phương sai của \(X\).

  3. Tính xác suất của một người có tuổi thọ \(\geq\) 60

  4. Tính xác suất của một người có tuổi thọ \(\geq\) 60, biết rằng người đó hiện nay đã 50 tuổi.

Một thiết bị gồm 3 bộ phận hoạt động độc lập với nhau, xác suất trong khoảng thời gian \(t\) các bộ phận hỏng tương ứng bằng 0.2; 0.3; 0.25. Gọi \(X\) là số bộ phận bị hỏng trong khoảng thời gian \(t\).

  1. Lập bảng phân phối xác suất của \(X\).

  2. Viết biểu thức hàm phân phối của \(X\).

  3. Tính \(P(0<X\leq4)\) theo hai cách.

Một mẫu 4 sản phẩm được rút ra không hoàn lại từ 10 sản phẩm. Biết rằng trong 10 sản phẩm này có 1 thứ phẩm. Tính xác suất thứ phẩm có trong mẫu.

Một cái hộp chứa 100 transistor loại A và 50 transistor loại B.

  1. Các transistor được rút ra lần lượt, ngẫu nhiên và được hoàn lại, cho đến khi lấy được transistor loại B đầu tiên. Tính xác suất 9 hoặc 10 transistor được rút ra.

  2. Số lượng các transistor ít nhất phải rút ra, ngẫu nhiên và được hoàn lại, là bao nhiêu nếu ta muốn xác suất lấy được chỉ loại A nhỏ hơn 1 /3?

Gọi \(X\) là số lần mặt nhất xuất hiện sau ba lần tung một con xúc xắc.

  1. Lập bảng phân phối xác suất của \(X\).

  2. Tính xác suất có ít nhất một lần được mặt nhất.

  3. Tính xác suất có tối đa hai lần mặt nhất.

  4. Tính \(\mathbb{E}(X)\), \(\text{Var}(X)\)

Xét trò chơi, tung một con xúc xắc ba lần: nếu cả ba lần được 6 nút thì lĩnh 6 ngàn đ, nếu hai lần 6 nút thì lĩnh 4 ngàn đ, một lần 6 nút thì lĩnh 2 ngàn đ, và nếu không có 6 nút thì không lĩnh gì hết. Mỗi lần chơi phải đóng A ngàn đ. Hỏi :

  1. A là bao nhiêu thì người chơi về lâu về dài huề vốn (gọi là trò chơi công bằng).

  2. A là bao nhiêu thì trung bình mỗi lần người chơi mất 1 ngàn đ.

Một hệ thống an ninh gồm có 10 thành phần hoạt động độc lập lẫn nhau. Hệ thống hoạt động nếu ít nhất 5 thành phần hoạt động. Để kiểm tra hệ thống có hoạt động hay không, người ta kiểm tra định kì 4 thành phần được chọn ngẫu nhiên (không hoàn lại). Hệ thống được báo cáo là hoạt động nếu ít nhất 3 trong 4 thành phần được kiểm tra hoạt động. Nếu thật sự chỉ có 4 trong 10 thành phần hoạt động, thì xác xuất hệ thống được báo cáo là hoạt động là bao nhiêu?

Trong một trò chơi ném phi tiêu, người chơi hướng về một tấm bia lớn có vẽ một vòng tròn có bán kính 25 cm. Gọi \(X\) là khoảng cách (theo cm) giữa đầu phi tiêu cắm vào bia và tâm vòng tròn. Giả sử rằng \[P(X\leq x)=\begin{cases} c\pi x^{2} & \text{nếu }0\leq x<25\\ 1 & \text{nếu }x\geq25 \end{cases}\]

với \(c\) là một hằng số nào đó.

  1. Tính

    1. hằng số \(c\)

    2. hàm mật độ, \(f_{X}(x)\), của \(X\)

    3. trung bình của \(X\)

    4. xác suất \(P(X\leq10\mid X\geq5)\).

  2. Người chơi sẽ mất 1 (đơn vị: ngàn đồng) cho mỗi lần phóng và thắng \[\begin{cases} 10 & \text{nếu }x\leq r\\ 1 & \text{nếu }r<x\leq2r\\ 0 & \text{nếu }2r<X<25 \end{cases}\] Với giá trị nào của \(r\) thì số tiền trung bình người chơi đạt được bằng 0.25?

Cho \(X\) là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối xác suất như sau

\(X\) 0 1 2 3 4 5 6 7
\(P\) 0 \(a\) \(2a\) \(2a\) \(3a\) \(a^{2}\) \(2a^{2}\) \(7a^{2}+a\)

  1. Xác định \(a\)

  2. Tính \(P(X\geq5)\), \(P(X<3)\).

  3. Tính k nhỏ nhất sao cho \(P(X\leq k)\geq\dfrac{1}{2}\)

Cho hàm mật độ của biến ngẫu nhiên \(X\) có dạng \[f(x)=\begin{cases} Ax & \text{khi }x\in[0,1]\\ 0 & \text{khi }x\not\in[0,1] \end{cases}\] \[f(x)=\begin{cases} A\sin x & \text{khi }x\in[0,\pi]\\ 0 & \text{khi }x\not\in[0,\pi] \end{cases}\] \[f(x)=\begin{cases} A\cos\pi x & \text{khi }x\in\left[0,\frac{1}{2}\right]\\ 0 & \text{khi }x\not\in\left[0,\frac{1}{2}\right] \end{cases}\] \[f(x)=\begin{cases} \dfrac{A}{x^{4}} & \text{khi }x\geq1\\ 0 & \text{khi }x<1 \end{cases}\]

Hãy xác định \(A\). Tìm hàm phân phối xác suất của \(X\). Tính \(\mathbb{E}(X)\),\(\text{Var}(X)\) nếu có.

Cho biến ngẫu nhiên liên tục \(X\) có hàm phân phối \[f(x)=\begin{cases} 0 & \text{khi }x<-\frac{\pi}{2}\\ a+b\sin x & \text{khi }-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}\\ 1 & \text{khi }x>\frac{\pi}{2} \end{cases}\]

  1. Tìm \(a\) và \(b\).

  2. Với \(a\) và \(b\) tìm được, tính hàm mật độ \(f(x)\) của \(X\) và \(\text{Mod}(X),\text{Med}(X),P(X>\frac{\pi}{4})\).

Cho \(X\) và \(Y\) là hai biến ngẫu nhiên độc lập và có phân phối xác suất tương ứng là

\(X\) -1 0 1 2
\(P\) 0.2 0.3 0.3 0.2

và

\(Y\) -1 0 1
\(P\) 0.3 0.4 0.3

Tìm phân phối xác suất của \(X^{2}\), \(X+Y\). Tính kì vọng, phương sai của \(X\), \(X+Y\).

Một mẫu gồm 4 biến ngẫu nhiên \(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}\) độc lập với nhau từng đôi một. Mỗi biến ngẫu nhiên \(X_{i},i=1,...,4\) có hàm mật độ như sau: \[f(x)=\begin{cases} 2x & \text{khi }0<x<1\\ 0 & \text{nơi khác} \end{cases}\]

Đặt \(Y=\max\{X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}\}\) và \(Y=\max\{X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}\}\). Tìm hàm mật độ của \(Y\) và \(Z\).

Cho \(F_{X}\) là hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên \(X\). Tìm hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên \[Y=\begin{cases} \dfrac{X}{|X|} & \text{khi }X\neq0\\ 1 & \text{khi }X=0 \end{cases}\]

Tìm hàm phân phối của \(\dfrac{1}{2}(X+|X|)\) nếu hàm phân phối của \(X\) là \(F_{X}\).

Giả sử \(X\) có hàm phân phối liên tục \(F(x)\). Xác định hàm phân phối của \(Y=F(X)\).

Giả sử \(F(x)\) là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên dương liên tục \(X\), có tính chất \(P(X<t+x\mid X>t)=P(X<x)\) với \(x,t>0\). Chứng minh rằng \(F(x)=1-e^{-\lambda x}\) với \(x>0\).