4 Một số phân phối phổ biến
Cho tới thời điểm này ta đã có các khái niệm quan trọng trong xác suất như sự kiện, biến ngẫu nhiên, phân phối xác suất và các đặc trưng của phân phối. Giờ là lúc ta đề cập tới một số phân phối xác suất phổ biến để có thể áp dụng vào thực tế khi quan sát các mô hình xác suất.
4.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc
4.1.1 Phân phối đều (discrete uniform distribution)
Phân phối đều là phân phối mà xác suất xuất hiện của các sự kiện là như nhau. Biến ngẫu nhiên \(X\) tuân theo phân phối đều rời rạc \(X\sim\mathcal{U}ni(a,b)\) với tham số \(a,b\in\mathbb{Z};a<b\) là khoảng giá trị của \(X\), đặt \(n=b-a+1\), ta có
| Hàm/đại lượng | Công thức/giá trị | |
|---|---|---|
| Tham số | \(a,b\in\mathbb{N}\) | |
| PMF | \(p(x)\) | \(\dfrac{1}{n},\forall x\in[a,b]\) |
| CDF | \(F(x)\) | \(\dfrac{x-a+1}{n},\forall x\in[a,b]\) |
| Kỳ vọng | \(\mathbb{E}[X]\) | \(\dfrac{a+b}{2}\) |
| Phương sai | \(\text{Var}(X)\) | \(\dfrac{n^{2}-1}{12}\) |
- Thường người ta hay lấy \(a=1\) và khi đó phân phối đều của \(X\) sẽ được kí hiệu là \(X\sim\mathcal{U}(n)\). Lúc đó hàm phân phối xác suất CDF sẽ là: \(F(x)=\dfrac{x}{n}\).
4.1.2 Phân phối Bernoulli (Bernoulli distribution)
Biến ngẫu nhiên \(X\) tuân theo phân phối Bernoulli \(X\sim\mathcal{B}ern(p)\) với tham số \(p\in\mathbb{R},0\le p\le1\) là xác suất xuất hiện của sự kiện \(A\) tại mỗi phép thử. Phân phối có những đặc điểm như sau:
| Hàm/đại lượng | Công thức/giá trị | |
|---|---|---|
| Tham số | \(p\) | |
| PMF | \(p(x)\) | \(p^{x}(1-p)^{1-x},\quad x\in\{0,1\}\) |
| CDF | \(F(x)\) | \(\begin{cases} 0 & x<0\\ 1-p & 0\le x<1\\ 1 & x\ge1 \end{cases}\) |
| Kỳ vọng | \(\mathbb{E}[X]\) | \(p\) |
| Phương sai | \(\text{Var}(X)\) | \(p(1-p)\) |
4.1.3 Phân phối loại (categorical distribution)
Phân phối loại là sự tổng quát của phân phối Bernoulli trong đó biến ngẫu nhiên \(X\) sẽ có giá trị trong số \(k\) giá trị phân biệt \(\{v_{1},v_{2},...,v_{k}\}\). Trong hầu hết các bài toán, tập giá trị \(\{v_{1},v_{2},...,v_{k}\}\) được dùng là \(\{1,2,...,k\}\)
| Hàm/đại lượng | Công thức/giá trị | |
|---|---|---|
| Tham số | \(p_{1},...,p_{k}\in\{0,1\}, \sum p_{i}=1\) | |
| PMF | \(p(x)\) | \(P(X = i) = p_i\) |
| CDF | \(F(x)\) | |
| Kỳ vọng | \(\mathbb{E}[X]\) | |
| Phương sai | \(\text{Var}(X)\) |
4.1.4 Phân phối nhị thức (Binomial distribution)
Biến ngẫu nhiên \(X\) tuân theo phân phối nhị thức \(X\sim\mathcal{B}in(n,p)\) với tham số \(n\in\mathbb{N}\) là số lần xuất hiện của sự kiện \(A\) với \(p\in\mathbb{R},0\le p\le1\) là xác suất xuất hiện của \(A\) tại mỗi phép thử. Phân phối có các đặc điểm sau:
| Hàm/đại lượng | Công thức/giá trị | |
|---|---|---|
| Tham số | \(n,p\) | |
| PMF | \(p(x)\) | \(\dbinom{n}{x}p^{x}(1-p)^{n-x},\;x\in\{0,1,...,n\}\) |
| CDF | \(F(x)\) | \({\displaystyle \sum_{i=0}^{x}\dbinom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}}\) |
| Kỳ vọng | \(\mathbb{E}[X]\) | \(np\) |
| Phương sai | \(\text{Var}(X)\) | \(np(1-p)\) |
Với \(\dbinom{n}{x}=\dfrac{n!}{x!(n-x)!}\) được gọi là hệ số nhị thức và tên của phân phối này cũng xuất phát từ điểm này.
Như vậy ta có thể thấy phép thử Bernoulli có thể coi là 1 trường hợp đặc biệt của phân phối nhị thức với \(n=1\), nên phân phối Bernoulli còn có thể kí hiệu là: \(X\sim\mathcal{B}in(1,p)\).
4.1.5 Phân phối đa thức (multinomial distribution)
Phân phối đa thức là phân phối tổng quát hoá của phân phối nhị thức. Giả sử ta có \(n\) phép thử độc lập và mỗi phép thử sẽ cho kết quả là một trong số \(k\) nhóm với mỗi nhóm có xác suất tương ứng xác định. Khi đó, phân phối đa thức sẽ mô hình hoá phân phối xác suất của số lần thành công của sự kiện. Như vậy, khi \((n=1,k=2)\) ta sẽ có phân phối Bernoulli, còn khi \((n>1,k=2)\) ta có phân phối nhị thức.
Giả sử \(p_{i},i=\{1,...,k\}\) là xác suất rơi vào nhóm \(i\) tương ứng trong \(k\) nhóm, ta có: \[\sum_{i=1}^{k}p_{i}=1\]
Nếu biến ngẫu nhiên \(X_{i}\) có giá trị \(x_{i}\in\{0,1,\ldots,n\},i\in\{1,...,k\}\) thể hiện số lần xuất hiện của sự kiện nhóm \(i\), ta có: \[\sum_{i=1}^{k}x_{i}=n\]
Đặt \(\boldsymbol{X}=[X_{1},X_{2},\ldots,X_{k}]^{\intercal}\) là vector ngẫu nhiên với giá trị \(\boldsymbol{x}=\{x_{1},x_{2},...,x_{k}\}\) và xác suất tương ứng \(\boldsymbol{p}=[p_{1},p_{2},\ldots,p_{k}]^{\intercal}\). Khi đó, \(\boldsymbol{X}\) tuân theo phân phối đa thức \(X\sim\mathcal{M}(n,\boldsymbol{p})\) với tham số \(n\in\mathbb{N}\) có các đặc điểm sau:
| Hàm/đại lượng | Công thức/giá trị | |
|---|---|---|
| Tham số | \(p\) | |
| PMF | \(p(\boldsymbol{x})\) | \({\displaystyle \dbinom{n}{x_{1},x_{2},...,x_{k}}\prod_{i=1}^{k}p_{i}^{x_{i}}}\) |
| CDF | \(F(\boldsymbol{x})\) | |
| Kỳ vọng | \(\mathbb{E}[\boldsymbol{X}]\) | \(n\boldsymbol{p}\) |
| Phương sai | \(\text{Var}(\boldsymbol{X})\) | \(n\boldsymbol{p}\odot(1-\boldsymbol{p})\) |
- Trong đó, \(\dbinom{n}{x_{1},x_{2},...,x_{k}}=\dfrac{n!}{x_{1}!x_{2}!...x_{k}!}\) là hệ số đa thức và \(\odot\) phép nhân từng phần tử.
4.1.6 Phân phối Poisson (Poisson distribution)
Phân phối Poisson cho biết trung bình số lần xảy ra thành công của một sự kiện trong một khoảng thời gian nhất định. Giá trị trung bình này được gọi là \(\lambda\). Phân phối Poisson \(X\sim\mathcal{P}oi(\lambda)\) sẽ có đặc tính
| Hàm/đại lượng | Công thức/giá trị | |
|---|---|---|
| Tham số | \(\lambda\geq0\) | |
| PMF | \(p(x)\) | \(\dfrac{\lambda^{x}}{x!}e^{-\lambda},\quad x\in\mathbb{N}\) |
| CDF | \(F(x)\) | \(e^{-\lambda}{\displaystyle \sum_{i=0}^{x}\dfrac{\lambda^{i}}{i!}}\) |
| Kỳ vọng | \(\mathbb{E}[X]\) | \(\lambda\) |
| Phương sai | \(\text{Var}(X)\) | \(\lambda\) |
Phân phối Poisson là phân phối nhị thức đạt được khi \(n\) rất lớn và \(p\) rất nhỏ. Đặt \(\lambda=np\), ta có \[\begin{aligned}p(x) & =\dfrac{n!}{x!(n-x)!}p^{x}(1-p)^{n-x}\\ & =\dfrac{n!}{x!(n-x)!}\bigg(\frac{\lambda}{n}\bigg)^{x}\bigg(1-\frac{\lambda}{n}\bigg)^{n-x}\\ & =\dfrac{n!}{n^{x}(n-x)!}\frac{\lambda^{x}}{x!}\bigg(1-\frac{\lambda}{n}\bigg)^{n-x} \end{aligned}\]
Khi \(n\) rất lớn thì \(\bigg(1-\dfrac{\lambda}{n}\bigg)^{x}\approx1\), \(\bigg(1-\dfrac{\lambda}{n}\bigg)^{n}\approx e^{-\lambda}\) và \(\dfrac{n!}{n^{x}(n-x)!}\approx1\) nên \(p(x)\approx\dfrac{\lambda^{x}}{x!}e^{-\lambda}\)
4.1.7 Phân phối hình học (geometric distribution)
Phân phối hình học là phân phối của xác suất xuất hiện lần đầu tiên của sự kiện \(A\) trong phép thử Bernoulli. Phân phối hình học được kí hiệu là \(X\sim\mathcal{G}eo(p)\), trong đó tham số \(p\) là xác suất xuất hiện của sự kiện \(A\) trong mỗi phép thử.
| Hàm/đại lượng | Công thức/giá trị | |
|---|---|---|
| Tham số | \(p\) | |
| PMF | \(p(x)\) | \(p(1-p)^{x}\) |
| CDF | \(F(x)\) | \(1-(1-p)^{x+1}\) |
| Kỳ vọng | \(\mathbb{E}[X]\) | \(\dfrac{1-p}{p}\) |
| Phương sai | \(\text{Var}(X)\) | \(\dfrac{1-p}{p^{2}}\) |
4.1.8 Phân phối nhị thức âm (negative binominal distribution)
Là phân phối xác suất xuất hiện lần thứ \(r\) của sự kiện \(A\) trong phép thử Bernoulli. Như vậy đây là phân phối tổng quát của phân phối hình học và phân phối hình học là phân phối nhị thức âm với \(r=1\). Ta kí hiệu phân phối này là \(X\sim\mathcal{N}eg\mathcal{B}in(r,p)\) với tham số \(r\) là số lần xuất hiện của \(A\) cùng với \(p\) là xác suất xuất hiện của \(A\) trong mỗi phép thử.
| Hàm/đại lượng | Công thức/giá trị | |
|---|---|---|
| Tham số | \(r,p\) | |
| PMF | \(p(x)\) | \(\dbinom{x+r+1}{x}p^{r}(1-p)^{x}\) |
| CDF | \(F(x)\) | \(p^{r}{\displaystyle \sum_{i=0}^{x}\dbinom{x+r+1}{x}(1-p)^{x}}\) |
| Kỳ vọng | \(\mathbb{E}[X]\) | \(\dfrac{r(1-p)}{p}\) |
| Phương sai | \(\text{Var}(X)\) | \(\dfrac{r(1-p)}{p^{2}}\) |
4.2 Biến ngẫu nhiên liên tục
4.2.1 Phân phối đều (continuous uniform distribution)
Tương tự như đối với trường hợp là biến rời rạc thì với phân phối đều liên tục, bất kì giá trị nào của biến ngẫu nhiên trong miền xác định cũng cho xác suất là như nhau. Biến ngẫu nhiên \(X\) tuân theo phân phối đều liên tục \(X\sim\mathcal{U}ni(a,b)\) với tham số \(a,b\in\mathbb{R};a<b\), ta sẽ có:
| Hàm/đại lượng | Công thức/giá trị | |
|---|---|---|
| Tham số | \(\begin{cases} \dfrac{1}{b-a} & ,\text{nếu }x\in[a,b]\\ 0 & ,\text{còn lại} \end{cases}\) | |
| \(f(x)\) | \(\begin{cases} \dfrac{1}{b-a} & ,\text{nếu }x\in[a,b]\\ 0 & ,\text{còn lại} \end{cases}\) | |
| CDF | \(F(x)\) | \(\begin{cases} 0 & ,\text{nếu }k<a\\ \dfrac{k-a}{b-a} & ,\text{nếu }k\in[a,b)\\ 1 & ,\text{nếu }k\ge b \end{cases}\) |
| Kỳ vọng | \(\mathbb{E}[X]\) | \(\dfrac{a+b}{2}\) |
| Phương sai | \(\text{Var}(X)\) | \(\dfrac{(b-a)^{2}}{12}\) |
4.2.2 Phân phối chuẩn (normal distribution)
Phân phối chuẩn hay còn được gọi là phân phối Gauss là một trong những phân phối quan trọng nhất và được ứng dụng rất rộng rãi trong thực tế. Ở đây ta sẽ khảo sát phân phối chuẩn cho 1 biến ngẫu nhiên hay nói cách khác là biến ngẫu nhiên một chiều và cho cả nhiều biến ngẫu nhiên hay vector ngẫu nhiên - biến ngẫu nhiên nhiều chiều.
Đối với biến một chiều (univariate)
Biến ngẫu nhiên \(X\) tuân theo phân phối chuẩn \(X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^{2})\) với tham số kỳ vọng \(\mu\) và phương sai \(\sigma^{2}\), ta sẽ có:
| Hàm/đại lượng | Công thức/giá trị | |
|---|---|---|
| Tham số | \(\mu,\sigma^{2}\) | |
| \(f(x)\) | \(\dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\exp\bigg(-\dfrac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\bigg)\) | |
| CDF | \(F(x)\) | \(\dfrac{1}{2}+\Phi\bigg(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\bigg)\) |
| Kỳ vọng | \(\mathbb{E}[X]\) | \(\mu\) |
| Phương sai | \(\text{Var}(X)\) | \(\sigma^{2}\) |
Trong đó phân phối tích lũy chuẩn tắc \(\Phi\bigg(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\bigg)=F_{X}(x)\)
Biểu đồ của hàm mật độ xác suất tuân theo phân phối chuẩn có dạng như sau:
Để ý rằng phương sai \(\sigma^{2}\) càng lớn thì mức độ phân tán xác suất cũng càng rộng, đỉnh thấp hơn và trải rộng hơn. Đường màu đỏ với \(\mu=0\) và \(\sigma^{2}=1\) thể hiện phân phối chuẩn tắc \(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}exp\bigg(-\dfrac{x^{2}}{2}\bigg)\) (hàm Gauss). Phân phối này thường được dùng để tính các phân phối chuẩn khác qua các phép biến đổi tuyến tính.
Thường các phân phối chuẩn được tính toán theo các phép biến đổi tuyến tính tức là dựa vào các phân phối chuẩn dễ tính và tính được từ trước (như phân phối chuẩn tắc) để ước lượng cho phân phối cần tính. Giờ ta sẽ tìm cách biểu diễn 1 phân phối chuẩn bất kì qua phân phối chuẩn tắc.
Giả sử \(Y=aX+b\) thì \(Y\) cũng sẽ là phân phối chuẩn có luật phân phối là: \(Y\sim\mathcal{N}(a\mu+b,a^{2}\sigma^{2})\).
Phân phối \(Z\) là phân phối chuẩn đặc biệt được định nghĩa như sau \[\begin{aligned}Z & \sim\mathcal{N}(0,1)\end{aligned}\]
- Như vậy \(Z\) tuân theo phân phối chuẩn tắc nên ta có thể biến đổi ngược lại để thu được phép biểu diễn phân phối chuẩn qua phân phối của \(Z\).
\[\begin{aligned}F_{X}(x) & =P(X\le x)\\ & =P\bigg(\dfrac{X-\mu}{\sigma}\le\dfrac{x-\mu}{\sigma}\bigg)\\ & =P\bigg(Z\le\dfrac{x-\mu}{\sigma}\bigg)\\ & =\Phi\bigg(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\bigg) \end{aligned}\]
Đối với biến nhiều chiều (multivariate)
Đây là tổng quát hoá của phân phối chuẩn đối với biến ngẫu nhiên một chiều và sử dụng cho hợp của nhiều biến ngẫu nhiên - vector ngẫu nhiên. Giả sử vector ngẫu nhiên có số chiều là \(k\): \(X=[X_{1},X_{2},\ldots,X_{k}]^{\intercal}\). Lúc đó phân phối chuẩn của nó sẽ được tham số hoá bởi \(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma}\). Phân phối này sẽ được kí hiệu là: \(\boldsymbol{X}\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma})\)
| Hàm/đại lượng | Công thức/giá trị | |
|---|---|---|
| Tham số | \(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma}\) | |
| \(f(\boldsymbol{x})\) | \(\dfrac{1}{\sqrt{|2\pi\Sigma|}}\exp\bigg(-\dfrac{1}{2}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^{\intercal}\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})\bigg)\) | |
| CDF | \(F(\boldsymbol{x})\) | |
| vector kỳ vọng | \(\boldsymbol{\mu}\) | \(\mathbb{E}[\boldsymbol{X}]=[\mathbb{E}[X_{1}],\mathbb{E}[X_{2}],\ldots,\mathbb{E}[X_{k}]]^{\intercal}\) |
| Ma trận hiệp phương sai | \(\boldsymbol{\Sigma}\) | \(\mathbb{E}[(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{\mu})(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{\mu})^{\intercal}]=[\text{Cov}(X_{i},X_{j})~,1\le i,j\le k]\) |
Xấp xỉ bằng phân phối chuẩn
Trong thực tế, đôi khi ta xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn
Khi \(np\) hoặc \(n(1-p)\) nhỏ, phân bố trông rời rạc.
Khi \(np\) hoặc \(n(1-p)\) \(<\) 10, phân bố bị lệch
Khi cả hai \(np\) và \(n(1-p)\) lớn, phân bố xấp xỉ phân bố chuẩn
Khi cả hai \(np\) và \(n(1-p)\) rất lớn, phân bố trông trơn và chuẩn hơn
\[\mathcal{B}in(n,p)\approx\mathcal{N}(\mu=np,\sigma=np(1-p))\]
Phân phối Poision xấp xỉ bằng phân phối chuẩn khi \(\lambda\) rất lớn (\(\lambda>10)\) \[\mathcal{P}oi(\lambda)\approx\mathcal{N}(\mu=\lambda,\sigma=\lambda)\]
4.2.3 Phân phối mũ (exponential distribution)
Là phân phối biểu diễn xác suất thời gian giữa các lần một sự kiện xảy ra. Biến ngẫu nhiên \(X\) tuần theo phân phối mũ \(X\sim\mathcal{E}xp(\lambda)\) với tham số \(\lambda\) là là tỉ lệ xảy ra của sự kiện \(A\).
| Hàm/đại lượng | Công thức/giá trị | |
|---|---|---|
| Tham số | \(\lambda\) | |
| \(f(x)\) | \(\lambda e^{-\lambda x},\quad x\ge0\) | |
| CDF | \(F(x)\) | \(1-e^{-\lambda x}\) |
| Kỳ vọng | \(\mathbb{E}[X]\) | \(\dfrac{1}{\lambda}\) |
| Phương sai | \(\text{Var}(X)\) | \(\dfrac{1}{\lambda^{2}}\) |
- Nếu đặt \(\beta=\dfrac{1}{\lambda}\) là kỳ vọng ta có thể sử dụng \(\beta\) là tham số của phân phối mũ. Khi đó phân phối này có thể kí hiệu là: \(X\sim\mathcal{E}xp(\beta)\) và có \(f(x)=\dfrac{1}{\beta}\exp(-\dfrac{x}{\beta})\).
4.2.4 Phân phối Student
Phân phối Student được ký hiệu là \(t\)-student. Được định nghĩa với tham số \(\nu\) được gọi là bậc tự do (degree of freedom)
| Hàm/đại lượng | Công thức/giá trị | |
|---|---|---|
| Tham số | \(\nu>0\) | |
| \(f(x)\) | \(\frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)}\left(1+\frac{x^{2}}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}\) | |
| CDF | \(F(x)\) | |
| Kỳ vọng | \(\mathbb{E}[X]\) | 0 |
| Phương sai | \(\text{Var}(X)\) | \(\begin{cases} \frac{\nu}{\nu-2} & \nu>2\\ \infty & 1<\nu\leq2 \end{cases}\) |
Trong đó hàm Gamma
\(\Gamma(n)=(n-1)!,\) cho \(n\in\mathbb{N}^{+}\)
\(\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}x^{z-1}e^{-x}dx\), cho \(z>0\)
Khi bậc tự do \(\nu\geq30\) thì phân phối Student có thể xấp xỉ bằng phân phối chuẩn \[t(\nu)\approx\mathcal{N}(0,1),\text{ với }\nu\geq30\]
4.2.5 Phân phối Chi squared
Phân phối Chi squared được ký hiệu là \(\chi_{k}^{2}\). Được định nghĩa với tham số \(k\) được gọi là bậc tự do (degree of freedom)
| Hàm/đại lượng | Công thức/giá trị | |
|---|---|---|
| Tham số | \(k\in\mathbb{N}^{+}\) | |
| \(f(x)\) | \(\frac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)}x^{\frac{k}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}\) | |
| CDF | \(F(x)\) | |
| Kỳ vọng | \(\mathbb{E}[X]\) | \(k\) |
| Phương sai | \(\text{Var}(X)\) | \(2k\) |
Nếu \(X\sim\mathcal{N}(0,1)\) thì \(Y=X^{2}\sim\chi_{1}^{2}\)
Nếu \(X\sim\chi_{r}^{2}\), \(Y\sim\chi_{s}^{2}\), \(X\) và \(Y\) độc lập thì \(Z=X+Y\sim\chi_{r+s}^{2}\)
Nếu \(X_{1},X_{2},...,X_{r}\) độc lập và có cùng phân phối chuẩn \(\mathcal{N}(0,1)\) thì \[Z=X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+...+X_{r}^{2}\sim\chi_{r}^{2}\]
4.2.6 Phân phối Fisher
Phân phối Fisher được ký hiệu là \(F\). Được định nghĩa với tham số \(d_{1},d_{2}\) được gọi là bậc tự do (degrees of freedom)
| Hàm/đại lượng | Công thức/giá trị | |
|---|---|---|
| Tham số | \(d_{1},d_{2}>0\) | |
| \(f(x)\) | \(\dfrac{\left(\frac{(d_{1}x)^{d_{1}}d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}\right)^{0.5}}{xB\left(\frac{d_{1}}{2},\frac{d_{2}}{2}\right)}\) | |
| CDF | \(F(x)\) | |
| Kỳ vọng | \(\mathbb{E}[X]\) | \(\dfrac{d_{2}}{d_{2}-2},\quad d_{1}>2\) |
| Phương sai | \(\text{Var}(X)\) | \(\dfrac{2d_{2}^{2}(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)},\quad d_{2}>4\) |
- Trong đó hàm Beta \(B(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\)
4.2.7 Phân phối Beta
Phân phối Beta được ký hiệu là \(\mathcal{B}eta\). Được định nghĩa với tham số \(\alpha,\beta\) được gọi là tham số hình dạng (shape parameters)
| Hàm/đại lượng | Công thức/giá trị | |
|---|---|---|
| Tham số | \(\alpha,\beta>0\) | |
| \(f(x)\) | \(\dfrac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}\) | |
| CDF | \(F(x)\) | |
| Kỳ vọng | \(\mathbb{E}[X]\) | \(\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}\) |
| Phương sai | \(\text{Var}(X)\) | \(\dfrac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^{2}(\alpha+\beta+1)}\) |
- Trong đó \(B(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\)
4.2.8 Phân phối Gamma
Phân phối Gamma được ký hiệu là \(\mathcal{G}amma\). Được định nghĩa với tham số \(k\) hình dạng và \(\theta\) tỉ lệ
| Hàm/đại lượng | Công thức/giá trị | |
|---|---|---|
| Tham số | \(k,\theta>0\) | |
| \(f(x)\) | \(\dfrac{1}{\Gamma(k)\theta^{k}}x^{k-1}e^{-\frac{x}{\theta}}\) | |
| CDF | \(F(x)\) | |
| Kỳ vọng | \(\mathbb{E}[X]\) | \(k\theta\) |
| Phương sai | \(\text{Var}(X)\) | \(k\theta^{2}\) |
4.2.9 Phân phối Logistic
Là phân phối được sử dụng trong hồi quy và mạng neural. Phân phối có hình dạng giống như phân phối chuẩn nhưng mà có phần đuôi đậm hơn
| Hàm/đại lượng | Công thức/giá trị | |
|---|---|---|
| Tham số | \(\mu,s>0\) | |
| \(f(x)\) | \(\dfrac{e^{-(x-\mu)/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu)/s}\right)^{2}}\) | |
| CDF | \(F(x)\) | \(\dfrac{1}{1+e^{-(x-\mu)/s}}\) |
| Kỳ vọng | \(\mathbb{E}[X]\) | \(\mu\) |
| Phương sai | \(\text{Var}(X)\) | \(\dfrac{\pi^{2}}{3}s^{2}\) |
Phân phối sigmoid là trường hợp đặc biệt của logistic khi \(\mu=0,s=1\)
| Hàm/đại lượng | Công thức/giá trị | |
|---|---|---|
| Tham số | \(\mu,s>0\) | |
| \(f(x)\) | \(\dfrac{e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^{2}}\) | |
| CDF | \(F(x)\) | \(\dfrac{1}{1+e^{-x}}\) |
| Kỳ vọng | \(\mathbb{E}[X]\) | \(0\) |
| Phương sai | \(\text{Var}(X)\) | \(\dfrac{\pi^{2}}{3}\) |
4.2.10 Phân phối Cauchy
Phân phối Cauchy là phân phối kỳ vọng và phương sai không xác định
| Hàm/đại lượng | Công thức/giá trị | |
|---|---|---|
| Tham số | \(x_{0},\gamma>0\) | |
| \(f(x)\) | \(\dfrac{1}{\pi\gamma\left[1+\left(\frac{x-x_{0}}{\gamma}\right)^{2}\right]}\) | |
| CDF | \(F(x)\) | \(\dfrac{1}{\pi}\arctan\left(\dfrac{x-x_{0}}{\gamma}\right)+\dfrac{1}{2}\) |
| Kỳ vọng | \(\mathbb{E}[X]\) | không xác định |
| Phương sai | \(\text{Var}(X)\) | không xác định |
4.3 ✏️ Bài tập
Phân phối Bernoulli, nhị thức
Có 8000 sản phẩm trong đó có 2000 sản phẩm không đạt tiêu chuẩn kỹ thuật. Lấy ngẫu nhiên (không hoàn lại) 10 sản phẩm. Tính xác suất để trong 10 sản phẩm lấy ra có 2 sản phẩm không đạt tiêu chuẩn.
Khi tiêm truyền một loại huyết thanh, trung bình có một trường hợp phản ứng trên 1000 trường hợp. Dùng loại huyết thanh này tiêm cho 2000 người. Tính xác suất để
có 3 trường hợp phản ứng,
có nhiều nhất 3 trường hợp phản ứng,
có nhiều hơn 3 trường hợp phản ứng.
Giả sử tỷ lệ sinh con trai và con gái là bằng nhau và bằng \(\dfrac{1}{2}\). Một gia đình có 4 người con. Tính xác suất để 4 đứa con đó gồm
2 trai và 2 gái.
1 trai và 3 gái.
4 trai.
Một nhà máy sản xuất với tỷ lệ phế phẩm là 7%.
Quan sát ngẫu nhiên 10 sản phẩm. Tính xác suất để
có đúng một phế phẩm.
có ít nhất một phế phẩm.
có nhiều nhất một phế phẩm.
Hỏi phải quan sát ít nhất bao nhiêu sản phẩm để xác suất nhận được ít nhất một phế phẩm \(\geq\) 0.9
Tỷ lệ một loại bệnh bẩm sinh trong dân số là \(p=0.01\). Bệnh này cần sự chăm sóc đặc biệt lúc mới sinh. Một nhà bảo sinh thường có 20 ca sinh trong một tuần. Tính xác suất để
không có trường hợp nào cần chăm sóc đặc biệt,
có đúng một trường hợp cần chăm sóc đặc biệt,
có nhiều hơn một trường hợp cần chăm sóc đặc biệt.
Tính bằng quy luật nhị thức rồi dùng quy luật Poisson để so sánh kết quả khi ta xấp xỉ phân phối nhị thức B(n;p) bằng phân phối Poisson P(np).
Tỷ lệ cử tri ủng hộ ứng cử viên \(A\) trong một cuộc bầu cử là 60%. Người ta hỏi ý kiến 20 cử tri được chọn một cách ngẫu nhiên. Gọi \(X\) là số người bỏ phiếu cho \(A\) trong 20 người đó.
Tìm giá trị trung bình, độ lệch chuẩn và Mod của \(X\).
Tìm \(P(X\leq10)\)
Tìm \(P(X>12)\)
Tìm \(P(X=11)\)
Giả sử tỷ lệ dân cư mắc bệnh \(A\) trong vùng là 10%. Chọn ngẫu nhiên 1 nhóm 400 người.
Viết công thức tính xác suất để trong nhóm có nhiều nhất 50 người mắc bệnh \(A\).
Tính xấp xỉ xác suất đó bằng phân phối chuẩn.
Một máy sản xuất ra sản phẩm loại \(A\) với xác suất 0.485. Tính xác suất sao có trong 200 sản phẩm do máy sản xuất ra có ít nhất 95 sản phẩm loại \(A\).
Dựa vào số liệu trong quá khứ, ta ước lượng rằng 85% các sản phẩm của một máy sản xuất nào đó là thứ phẩm. Nếu máy này sản xuất 20 sản phẩm mỗi giờ, thì xác suất 8 hoặc 9 thứ phẩm được sản xuất trong mỗi khoảng thời gian 30 phút là bao nhiêu?
Xác suất trúng số là 1%. Mỗi tuần mua một vé số. Hỏi phải mua vé số liên tiếp trong tối thiểu bao nhiêu tuần để có không ít hơn 95% hy vọng trúng số ít nhất 1 lần.
Trong trò chơi bầu cua” có ba con xúc sắc, mỗi con có sáu mặt hình là: bầu, cua, hưu, nai, tôm và gà. Giả sử có hai người, một người chơi và một người làm cái. Nếu mỗi ván người chơi chỉ đặt ở một ô (một trong các hình: bầu, cua, hưu, nai, tôm và gà) sau khi chơi nhiều ván thì người nào sẽ thắng trong trò chơi này. Giả sử thêm mỗi ván người chơi đặt 1000 đ nếu thắng sẽ được 5000 đ, nếu thua sẽ mất 1000 đ. Hỏi trung bình mỗi ván người thắng sẽ thắng bao nhiêu?
Có ba lọ giống nhau: hai lọ loại I, mỗi lọ có 3 bi trắng và 7 bi đen; một lọ loại II có 4 bi trắng và 6 bi đen. Một trò chơi được đặt ra như sau: Mỗi ván, người chơi chọn ngẫu nhiên một lọ và lấy ra hai bi từ lọ đó. Nếu lấy được đúng hai bi trắng thì người chơi thắng, ngược lại người chơi thua.
Người A chơi trò chơi này, tính xác suất người A thắng ở mỗi ván.
Giả sử người A chơi 10 ván, tính số ván trung bình người chơi thắng được và số ván người A thắng tin chắc nhất.
Người A phải chơi ít nhất bao nhiêu ván để xác suất thắng ít nhất một ván không dưới 0,99.
Cho \(X\) và \(Y\) là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập.
Giả sử \(X\sim B(1,\frac{1}{5}),Y\sim B(2,\frac{1}{5})\). Lập bảng phân phối xác suất của \(X+Y\) và kiểm tra rằng \(X+Y\sim B(3,\frac{1}{5})\)
Giả sử \(X\sim B(1,\frac{1}{2}),Y\sim B(2,\frac{1}{5})\). Tìm phân bố xác suất của \(X+Y\). Chứng minh rằng \(X+Y\) không có phân bố nhị thức.
Hai cầu thủ ném bóng vào rổ. Cầu thủ thứ nhất ném hai lần với xác suất trúng rổ của mỗi lần là 0.6. Cầu thủ thứ hai ném một lần với xác suất trúng rổ là 0.7. Gọi \(X\) là số lần trúng rổ của cả hai cầu thủ. Lập bảng phân phối xác suất của \(X\), biết rằng kết quả của các lần ném rổ là độc lập với nhau.
Bưu điện dùng một máy tự động đọc địa chỉ trên bì thư để phân loại từng khu vực gởi đi, máy có khả năng đọc được 5000 bì thư trong 1 phút. Khả năng đọc sai 1 địa chỉ trên bì thư là 0,04% (xem như việc đọc 5000 bì thư này là 5000 phép thử độc lập).
Tính số bì thư trung bình mỗi phút máy đọc sai.
Tính số bì thư tin chắc nhất trong mỗi phút máy đọc sai.
Tính xác suất để trong một phút máy đọc sai ít nhất 3 bì thư.
Một bài thi trắc nghiệm gồm có 10 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng. Giả sử mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm và câu trả lời sai bị trừ 2 điểm. Một sinh viên kém làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên một phương án cho mỗi câu hỏi.
Tính xác suất để học sinh này được 4 điểm.
Tính xác suất để học sinh này bị điểm âm.
Gọi \(X\) là số câu trả lời đúng, tính \(\mathbb{E}(X)\) và \(\text{Var}(X)\).
Tính số câu sinh viên này có khả năng trả lời đúng lớn nhất.
Các sản phẩm được sản xuất trong một dây chuyền. Để thực hiện kiểm tra chất lượng, mỗi giờ người ta rút ngẫu nhiên không hoàn lại 10 sản phẩm từ một hộp có 25 sản phẩm. Quá trình sản xuất được báo cáo là đạt yêu cầu nếu có không quá một sản phẩm là thứ phẩm.
Nếu tất cả các hộp được kiểm tra đều chứa chính xác hai thứ phẩm, thì xác suất quá trình sản xuất được báo cáo đạt yêu cầu ít nhất 7 lần trong một ngày làm việc 8 giờ là bao nhiêu?
Sử dụng phân phối Poisson để xấp xỉ xác suất được tính trong câu (1).
Biết rằng lần kiểm tra chất lượng cuối cùng trong câu (1), quá trình sản xuất được báo cáo đạt yêu cầu. Hỏi xác suất mẫu 10 sản phẩm tương ứng không chứa thứ phẩm là bao nhiêu?
Phân phối Poisson
Một trung tâm bưu điện nhận được trung bình 3 cuộc điện thoại trong mỗi phút. Tính xác suất để trung tâm này nhận được 1 cuộc, 2 cuộc, 3 cuộc gọi trong 1 phút, biết rằng số cuộc gọi trong một phút có phân phối Poisson.
Tính \(P(X\geq1\mid X\leq1)\) nếu \(X\sim P(5)\)
Cho \(X\), \(Y\) là các biến ngẫu nhiên độc lập, \(X\sim P(\lambda_{1})\), \(Y\sim P(\lambda_{2})\)
Tính xác suất \(P(X+Y=n)\)
Tính xác suất \(P(X=k\mid X+Y=n)\)
Một cửa hàng cho thuê xe ôtô nhận thấy rằng số người đến thuê xe ôtô vào ngày thứ bảy cuối tuần là một đại lượng ngẫu nhiên \(X\) có phân phối Poisson với tham số \(\lambda=2\). Giả sử cửa hàng có 4 chiếc ôtô.
Tìm xác suất không phải tất cả 4 chiếc ôtô đều được thuê.
Tìm xác suất tất cả 4 chiếc ôtô đều được thuê.
Tìm xác suất cửa hàng không đáp ứng được yêu cầu.
Trung bình có bao nhiêu ôtô được thuê.
Cửa hàng cần có ít nhất bao nhiêu ôtô để xác suất không đáp ứng được nhu cầu thuê bé hơn 2%
Một tổng đài bưu điện có các cuộc điện thoại gọi đến xuất hiện ngẫu nhiên, độc lập với nhau và có tốc độ trung bình 2 cuộc gọi trong 1 phút. Tìm xác suất để
có đúng 5 cuộc điện thoại trong 2 phút,
không có cuộc điện thoại nào trong khoảng thời gian 30 giây,
có ít nhất 1 cuộc điện thoại trong khoảng thời gian 10 giây.
Các cuộc gọi điện đến tổng đài tuân theo phân phối Poisson với mức \(\lambda\) trên mỗi phút. Từ kinh nghiệm có được trong quá khứ, ta biết rằng xác suất nhận được chính xác một cuộc gọi trong một phút bằng ba lần xác suất không nhận được cuộc gọi nào trong cùng thời gian.
Gọi X là số cuộc gọi nhận được trong mỗi phút. Tính xác suất \(P(2\leq X\leq4)\).
Ta xét 100 khoảng thời gian một phút liên tiếp và gọi U là số khoảng thời gian một phút không nhận được cuộc gọi điện nào. Tính \(P(U\leq1)\).
Tại một điểm bán vé máy bay, trung bình trong 10 phút có 4 người đến mua vé. Tính xác suất để:
Trong 10 phút có 7 người đến mua vé.
Trong 10 phút có không quá 3 người đến mua vé.
Các khách hàng đến quầy thu ngân, theo phân phối Poisson, với số lượng trung bình 5 người mỗi phút. Tính xác suất xuất hiện ít nhất 10 khách hàng trong khoảng thời gian 3 phút.
Số khách hàng đến quầy thu ngân tuân theo phân phối Poisson với tham số \(\lambda=1\) trong mỗi khoảng 2 phút. Tính xác suất thời gian đợi đến khi khách hàng tiếp theo xuất hiện (từ khách hàng trước đó) nhỏ hơn 10 phút.
Số lượng nho khô trong một cái bánh quy bất kì có phân phối Poisson với tham số \(\lambda\). Hỏi giá trị \(\lambda\) là bao nhiêu nếu ta muốn xác suất có nhiều nhất hai bánh quy, trong một hộp có 20 bánh, không chứa nho khô là 0.925 ?
Một trạm cho thuê xe Taxi có 3 chiếc xe. Hàng ngày trạm phải nộp thuế 8 USD cho 1 chiếc xe (bất kể xe đó có được thuê hay không). Mỗi chiếc được cho thuê với giá 20 USD. Giả sử số xe được yêu cầu cho thuê của trạm trong 1 ngày là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối Poisson với \(\mu=2.8\).
Tính số tiền trung bình trạm thu được trong một ngày.
Giải bài toán trên trong trường hợp trạm có 4 chiếc xe.
Theo bạn, trạm nên có 3 hay 4 chiếc xe?
Ta có 10 máy sản xuất (độc lập nhau), mỗi máy sản xuất ra 2% thứ phẩm (không đạt chuẩn).
Trung bình có bao nhiêu sản phẩm được sản xuất bởi máy đầu tiên trước khi nó tạo ra thứ phẩm đầu tiên?
Ta lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ mỗi máy sản xuất. Hỏi xác suất nhiều nhất hai thứ phẩm trong 10 sản phẩm này là bao nhiêu?
Làm lại câu (2) bằng cách sử dụng xấp xỉ Poisson.
Phải lấy ra ít nhất bao nhiêu sản phẩm được sản xuất bởi máy đầu tiên để xác suất đạt được ít nhất một thứ phẩm không nhỏ hơn 1/2 (giả sử rằng các sản phẩm là độc lập với nhau)?
Phân phối chuẩn
Các kết quả của bài kiểm tra chỉ số thông minh (IQ) cho các học sinh của một trường tiểu học cho thấy điểm IQ của các học sinh này tuân theo phân phối chuẩn với các tham số là \(\mu=100\) và \(\sigma^{2}=225\). Tỉ lệ học sinh có điểm IQ nhỏ hơn 91 hoặc lớn hơn 130 là bao nhiêu?
Giả sử chiều dài \(X\) (đơn vị tính m) của một nơi đỗ xe bất kì tuân theo phân phối chuẩn \(N(\mu,0.01\mu^{2})\).
Một người đàn ông sở hữu một chiếc xe hơi cao cấp có chiều dài lớn hơn 15% chiều dài trung bình của một chỗ đậu xe. Hỏi tỉ lệ chỗ đậu xe có thể sử dụng là bao nhiêu?
Giả sử rằng \(\mu=4\). Hỏi chiều dài của xe là bao nhiêu nếu ta muốn chủ của nó có thể sử dụng 90% chỗ đậu xe?
Đường kính của một chi tiết máy do một máy tiện tự động sản xuất có phân phối chuẩn với trung bình \(\mu=50mm\) và độ lệch chuẩn \(\sigma=0.05mm\). Chi tiết máy được xem là đạt yêu cầu nếu đường kính không sai quá \(0.1mm\).
Tính tỷ lệ sản phẩm đạt yêu cầu.
Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm. Tính xác suất có ít nhất một sản phẩm đạt yêu cầu.
Trọng lượng \(X\) (tính bằng gam) một loại trái cây có phân phối chuẩn \(N(\mu,\sigma^{2})\), với \(\mu=500(gam)\) và \(\sigma^{2}=16(gam^{2})\). Trái cây thu hoạch được phân loại theo trọng lượng như sau:
loại 1 : trên 505 gam,
loại 2 : từ 495 đến 505 gam,
loại 3 : dưới 495 gam.
Tính tỷ lệ mỗi loại.
Một công ty kinh doanh mặt hàng \(A\) dự định sẽ áp dụng một trong 2 phương án kinh doanh. Ký hiệu \(X_{1}\) là lợi nhuận thu được khi áp dụng phương án thứ 1, \(X_{2}\) là lợi nhuận thu được khi áp dụng phương án thứ 2. \(X_{1},X_{2}\) đều được tính theo đơn vị triệu đồng/ tháng) và \(X_{1}\sim N(140,2500)\), \(X_{2}\sim N(200,3600)\). Nếu biết rằng, để công ty tồn tại và phát triển thì lợi nhuận thu được từ mặt hàng kinh doanh \(A\) phải đạt ít nhất 80 triệu đồng/tháng. Hãy cho biết công ty nên áp dụng phương án nào để kinh doanh mặt hàng \(A\)? Vì sao?
Nghiên cứu chiều cao của những người trưởng thành, người ta nhận thấy rằng chiều cao đó tuân theo quy luật phân bố chuẩn với trung bình là 175cm và độ lệch tiêu chuẩn 4cm. Hãy xác định:
tỷ lệ người trưởng thành có tầm vóc trên 180cm.
tỷ lệ người trưởng thành có chiều cao từ 166cm đến 177cm.
tìm \(h_{0}\), nếu biết rằng 33% người trưởng thành có tầm vóc dưới mức \(h_{0}\).
giới hạn biến động chiều cao của 90% người trưởng thành xung quanh giá trị trung bình của nó.
Ta quan tâm đến tuổi thọ \(X\) (theo năm) của một thiết bị. Từ kinh nghiệm trong quá khứ, ta ước lượng xác suất thiết bị loại này còn hoạt động tốt sau 9 năm là 0.1.
Ta đưa ra mô hình sau cho hàm mật độ của \(X\) \[f_{X}(x)=\dfrac{a}{(x+1)^{b}}\text{ với }x\geq0\] trong đó \(a>0\) và \(b>1\). Tìm hai hằng số \(a\), \(b\).
Nếu ta đưa ra một phân phối chuẩn với trung bình \(\mu=7\) cho \(X\), thì giá trị tham số \(\sigma\) là bao nhiêu?
Ta xét 10 thiết bị loại này một cách độc lập. Tính xác suất 8 hoặc 9 thiết bị loại này có tuổi đời hoạt động ít hơn 9 năm.
Entropy \(H\) của một biến ngẫu nhiên liên tục \(X\) được định nghĩa là \(H=\mathbb{E}[-\ln f_{X}(X)]\) với \(f_{X}\) là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên \(X\) và \(\ln\) là logarit tự nhiên. Tính entropy của biến ngẫu nhiên Gauss với trung bình 0 và phương sai \(\sigma^{2}=2\).